Poincaré sejtés.
Még 1904-ben vettette fel Henri Poincaré azt a matematikai kérdést, amely szerint, a kétdimenziósnak ismert tér matematikai egyenletei, alkalmazhatók-e a háromdimenziós terek kiszámításához. Illetve, könnyen átalakíthatók-e a többdimenziós anyagi testek paramétereinek a kiszámításához. Más megfogalmazás szerint, a bizonyos matematikai egyenletek, a kétdimenziós térre vonatkozóan, átalakíthatóak úgy, hogy azok érvényesek legyenek a háromdimenziós térre vonatkoztatva is?
Az én véleményem az, hogy NEM. Hiszen, már a kérdés is eleve hibás. Mert a kérdés, a kétdimenziós terek kiszámítási képleteit próbálja a háromdimenziós terekhez igazítani. Márpedig, kétdimenziós rendszerekben, nem beszélhetünk térről. A kétdimenziós síkidomokat, alapdimenziót képviselő kerületek határolják és négyzetes viszonyú területek képezik. Teret egyáltalán nem is képviselnek azok. Mert a síkisomok kétdimenziós területe, nem biztosít harmadik dimenzióban kifejezhető teret. Így a kétdimenziós „terek” és a háromdimenziós terek összehasonlítsa, eleve matematikai szintű badarság. Mert a kétdimenziós tér, fizikai lehetetlenség.
De fogadjuk el most azt, hogy Poincaré a síkidomok területét értette a kétdimenziós „tér” fogalma alatt. Akkor már van értelme a kérdésének. Hiszen akkor Poincaré kérdése így hangzik. A kétdimenziósként megismert területek matematikai egyenletei, alkalmazhatók-e a háromdimenziós anyagi terek kiszámításához? A válaszom erre is az, hogy nem igazán.
Nézzük talán a legegyszerűbb síkidomot, a négyzetet. Amelynek a kerülete és a területe is könnyek kiszámolható, az oldalhosszúsága ismeretében. Legyen most az a-oldalhosszúsága 5 cm.
a = 5 cm K = 4 * a = 4 * 5 = 20 cm Egydimenziós kiterjedéssel kifejezve.
T = a * a = 5 * 5 = 25 cm2 Kétdimenziós területként meghatározva.
Mint az jól látható, az 5 cm oldalhosszúságú négyzetünk kerületét, egy 20 cm hosszú, egydimenziós kiterjedésű vonalként lehetett meghatározni. Ezzel szemben, a matematikai szinten kifejezhető területét, már kétdimenziós módon, azaz négyzetes viszonnyal lehet csak meghatározni. Mégpedig, 25 cm2-ben. Ami arra utal, hogy a síkidomok esetében is, egészen más képletre van szükség az egydimenzióban kifejezhető kerület és a kétdimenzióban kifejezhető terület kiszámításához. Vagyis, minden hatvány, más dimenziót fejez ki. De nézzünk most egy egészen más síkidomot, például egy kört. Aminek az r-sugara, legyen ugyanúgy 5 cm hosszú.
r = 5 cm K = 2r * Pi = 10 3,14 = 31,4 cm
T = r2 * Pi = 25 * 3,14 = 78,5 cm2
Szerencsére azonban, a kör négyszögesítése című írásom alkalmával azt vettem észre, hogy a körből formálható körnégyzet területértéke, egészen más, mint a kör területképlete által kiszámolt, hagyományos területszámítási értéke volt. Ha ugyanis, a kör sugarát megszorozzuk fél Pi-vel, azaz 1,57-el, akkor megkapjuk a körből készíthető körnégyzetünk valós oldalhosszúságát. Amit persze, úgy is kiszámíthatunk, hogy a kör előzőekben kiszámított kerületét, egyszerűen elosztjuk 4-el. Amelynek ismeretében, a kör valós területértéke is könnyen kiszámítható.
a = 5 * 1,57 = 7,85 cm (Körből készült körnégyzet területe)
a = K / 4 = 7,85 cm T = a2 = a * a = 7,85 * 7,85 = 61,6225 cm2
Ilyen módon, a Pi1- el számolt kör területértéke, jóval magasabb számértéket mutat, mint a körnégyzet által kiszámolt terület értéke lett. Mégpedig, 16,8775 cm2-el lett nagyobb területű. Ami arra utal számomra, hogy a Pi1-3,14 arányértéke nyilván, csak az egydimenziós körkerület kiszámításához alkalmas. Logikusan, mert a kétdimenziós kör kerületét vetíti egy hosszú vonalra. A kör területszámításához, már egészen más arányossági érték szükséges. Amit a 2,465-ös arányszám képvisel. Ezt az új arányszámot neveztem el egyszerűen csak, Pi2-nek. Ami a kétdimenziós terület kiszámításához alkalmas a kör esetében.
Pi1 = 3,14
Pi2 = 2,465
Ezek után, ha az 5 cm-es r-sugarú kör valós területét kívánjuk kiszámolni, akkor azt a Pi2-vel, azaz 2,465-el érdemes számolni.
T = r2 * Pi2 = 25 * 2,465 = 61,625 cm2
Amely területérték, majdnem tökéletesen azonos, a körnégyzetünk által kiszámolt területértékkel.
Ez az észrevételem, arra enged következtetni, hogy a kör eseténben, az egydimenziós egyenes vonalként kifejezhető kerület és a kétdimenziósként meghatározható terület értékei között is komoly matematikai differencia fedezhető fel. Mert a kétdimenziós kör területértéke, még az egydimenziós Pi1 arányossági értékével sem fejezhető ki pontosan. Csak a Pi2 arányossági értékével határozható meg a kör területe. Vagy a körből formált körnényzet területe által. Így, azonnal kétféle arányossági értékkel kell számolnunk. Ha pedig, a kör alapú anyagi testek felületét és térfogatát is ki szeretnénk számolni, akkor azonnal Pi3 és Pi4 arányossági értékekre is szükségünk van. Amit a „Pi változó értékei” című írásomban, már régebben kifejtettem. Így nyert a Pi, mint arányossági érték, négyféle megjelenési formát.
Pi1 = 3,14 = egydimenziós vonalhoz való arányossági szám.
Pi2 = 2,465 = kétdimenziós területhez való arányossági szám.
Pi3 = 3,6973 = testfelülethez való arányossági szám.
Pi4 = 2,9024 = háromdimenziós térfogathoz való arányossági szám.
Ehhez társul még a fél Pi, ami 1,57-os arányossági értéket fejez ki, és a kör sugarával megszorozva, a körből formálható lehetséges körnégyzet oldalhosszúságát határozza meg.
Ebből az is egyenesen adódik, hogy minden más hatványú dimenzióban, egyészen más értékű arányossági értékre van szükség, a kör alapú síkidomok és anyagi testek paramétereinek a pontos kiszámolása érdekében. Ami pedig, arra utal, hogy a Poincaré sejtés nem lehet valós. Hiszen, ahogy minden dimenzióban, más hatvány szerepel, úgy más és más arányossági tényezőkre is szükség van, a kör alapú síkidomok és testek paramétereinek a kiszámítása érdekében.
Vagyis, a ma még használatos egy és kétdimenziós fizikai rendszereket leíró matematikai képletek sem fedik igazán a valóságot. Ha pedig, azokat a háromdimenziós térre erőltetjük, akkor az által, már nagyon eltérünk a fizikai valóságtól. Mert már a kétdimenziós képleteket sem lehet mindet kétdimenziósnak értelmezni. Hiszen a síkidomok kerülete, most is első dimenziós hosszúságként vannak csupán értelmezve. Míg a síkidomok területe, már négyzetes viszonyként, a második dimenziót tükrözik számunkra. Harmadik dimenzióban pedig, megint egészen más matematikai összefüggés képes csak matematikai szinten kifejezésre juttatni, a dimenzióváltás által megváltozott fizikai feltételeket. Azok köbös viszonyában.
Matécz Zoltán
2024.03.04.
