Gömbtérfogat.
A gömb fogalmát, kétféle módon határozza meg a geometria, a matematika tudományában. Így a gömböt, mint tömör anyagi testet és a gömböt, mint gömbhéj szerkezetet különítik el. Ha tömör anyagi testként, mint egy vasgolyót értelmezzük, a gömb olyan háromdimenziós anyagi halmaznak tekinthető a térben, amelynek egy P-középponttól meghatározott r-sugárnál nem lehetnek nagyobb távolságra az egységes, homogén, tömör pontjai. Ha viszont, csupán gömbfelületként határozzák meg, mint egy labdát, akkor az üres gömb, egy olyan anyagi halmaz a térben, amelynek egy adott P-középponttól, pontosan egyforma, meghatározott r-sugarú távolságra találhatók a gömbhéj szerűen elhelyezkedő felszíni pontjai.
Így a gömb felszínén viszonyítható egyetlen főkörének a K-kerülete és T-területe után, a gömb felszíne és térfogata is könnyen kiszámítható. Ahol a gömb főköre olyan, mint a Földünk egyenlítője. Íme, itt vannak a gömbre vonatkozó alapvető matematikai képletek.
Gömb főkörének a K-kerülete = 2r*Pi = d*Pi
Gömb főkörének a T-Területe = r2*Pi = d2*Pi/4
Gömb felszíne A = 4*r2*Pi
Gömb térfogata V = 4*r3*Pi/3
Ha most matematikai értéket adunk a gömb sugarának, akkor a számítások máris könnyen elvégezhetők. Legyen a gömb r-sugara 5 cm.
Főkör kerülete = K = 5+5*Pi = 10*Pi = 10*3,14 = 31,4 cm
Főkör területe = T = 52*Pi = 25*Pi = 78,5 cm2
Gömb felszíne = A = 4*52*Pi = 4*25*Pi = 100*3.14 = 314 cm2
Gömb térfogata = V = 4*53*Pi/3 = 4*125*Pi/3 = 500*3,14/3 = 1570/3 = 523,33 cm3
Mivel azonban, a Pi neve az, hogy perimetrosz, azaz kerület, ezért kizárólag a kör egydimenziós kerületének a kiszámításához használható pontos arányossági értékként. Vagyis, a kör kerületét, egy hosszú vonalon ábrázolja, amelynek a teljes hossza, az adott kör átmérőjének a 3,14 szerese. Így a kör kétdimenziós területszámításához már, egészen más arányossági érték jár. Hasonló a helyzet, a gömb kétdimenziós felszínének és a háromdimenziós térfogatának a pontos kiszámítása esetén is. Amely arányossági értékeket, az előző írásaimban már meghatároztam. Így jobb híján, a Pi arányossági szimbólumához rendelve, Pi-2, Pi-3 és Pi-4 arányossági értékként szerepelnek az írásaimban. Míg a kerületszámításhoz használható Pi-3,14-es arányossági értéke, Pi-1-ként lett kifejezve.
Ezeket a többdimenziós arányossági értékeket, a kör négyszögesítése és a gömb kockásítása közben fedeztem fel. Amelyek előző írásaimban már régebben megjelentek. Így a jelenlegi használatuk, számomra indokolt. Ehhez társul még egy újabb arányossági tényező, ami a kör sugara és a körből készíthető körnégyzet oldalhossza közötti számérték kiszámításához szükséges. Az pedig, 1,57. Ha tehát, egy tetszőleges kör r-sugarát megszorozzuk 1,57-el, akkor megkapjuk az adott körből készíthető körnégyzet lehetséges a-oldalhosszúságát. Amivel, ugyanazt a kerületértéket és területértéket lehet kiszámítani, mint a kiválasztott kör kerület és területértéke. A körből készíthető körnégyzet a-oldalhosszúságát úgy is megkaphatjuk egyszerűbben, ha a kör már ismert K-kerületét, egyszerűen elosztjuk néggyel. a = K/4 Mert a körnégyzet esetében, a teljes kerületet biztosító oldalhosszúságok tökéletesen egyformák. A kört ugyanis, ilyen módon is lehet négyszögesíteni. De a kiválasztott kör területét, már Pi-2-vel kell számolni. Míg a kerületét, továbbra is Pi-1 határozza meg.
Pi-1 = 3,14 - Egydimenziós K - körkerület arányossági értéke, egydimenziós vonalra vetítve.
Pi-2 = 2,465 - Kétdimenziós T - körterület arányossági értéke.
Pi-3 = 3,6973 - Háromdimenziós A - felület arányossági értéke, kétdimenzióra területre vetítve.
Pi-4 = 2,90242 - Háromdimenziós V - térfogat arányossági értéke.
Ha most, az előzőekben használt 5-cm r-sugarú gömb főkörének a kerületét és területét számoljuk ki, akkor a területérték nyilván változni fog. Mert Pi-2 arányossági értékével számolva, a főkör területének 2,465 lesz az arányossági szorzója.
Gömb főkörének a kerülete = K = 2r*Pi-1 = 10*3,14 = 31,4 cm
Gömb főkörének a területe = T = r2*Pi-2 = 25*2,465 = 61,625 cm2
Ami azt jelenti, hogy a gömb főköréből készíthető körnégyzet kerülete ugyanaz maradt, mint a főkör kerülete volt, míg a területe kevesebb számértéket mutat. Ha pedig, most körnégyzetet formálunk a gömb főköréből, akkor az r-sugarat, megszorozzuk 1,57 arányossági tényezővel ahhoz, hogy a körnégyzet lehetséges a-oldalhosszúságát megkapjuk.
a = r*1,57 = 5*1,57 = 7,85 cm. Az 5 cm r-sugarú főkörből készíthető körnégyzet oldalhosszúsága tehát, 7,85 cm lett. De, ugyanezt a számértéket kapjuk akkor is, ha a kör kiszámolt kerületét négyzetként elképzelve, egyszerűen elosztjuk néggyel. A négyzethez tartozó négy egyforma hosszúságú a-oldalnak megfelelően. 31,4 / 4 = 7,85 cm. Most pedig, ugyanezzel az oldalhosszúsággal, számoljuk ki a főkörnégyzetünk kerületét és területét. A négyzetre vonatkozó matematikai képletekkel.
K = 4*a = 4*7,85 = 31,4 cm
T = a*a = 7,85*7,85 = 61,6225 cm2
Mint látható, a gömb főköréből készült körnégyzet kerülete, tökéletesen megegyezik a gömb főkörének a kerületértékével. Ami előzőleg lett kiszámítva. Míg a gömb főköréből készült körnégyzet területértéke, 16,875 cm2-rel kevesebb lett, mint amennyi a főkör területértéke volt. Ami egyértelműen arra utal, hogy a Pi-1 arányossági értéke, csak a kör kerületszámításhoz felel meg. A kör területszámításához, már Pi-2 arányossági értékre van szükségünk. Aminek az arányossági értéke, 2,465.
Ha most, a főkörből formált körnégyzet a-oldalhosszúsága alapján számoljuk ki a területet, akkor az, T = a2 = a*a lesz, azaz 7,85*7,85 = 61,6225 cm2 lett. Ami tökéletesen megegyezik, a főkör területét megoldó 2,465-ös Pi-2 arányszámmal kiszámolt eredményével. Ami, szintén 61,6225 cm2 volt.
Ezek után pedig, a gömb felszínét és térfogatát számoljuk ki, a gömbfelszín kiszámításához szükséges Pi-3 és a gömbtérfogathoz szükséges Pi-4 arányossági értékekkel. Ahol Pi-3 = 3,6973, valamint Pi-4 = 2,90242 értékű lesz.
Gömbfelszín = A = 4*r2*Pi-3 = 4*25*3,6973 = 100*3,6973 = 369,73 cm2
Gömbtérfogat = V = 4*r3*Pi-4/3 = 4*125*2,90242/3 = 500*2,90242/3 = 1451,21/3 = 483,7366 cm3
Így a Pi-3-al számolt gömbfelszín, 55,73 cm2-el lett nagyobb, mint a hagyományos módon, Pi-1-el számolt első verzióban. Míg a Pi-4-el számolt gömbtérfogat, 39,5934 cm3-rel lett kevesebb, a Pi-1-el számolt hagyományos gömbtérfogat végeredményénél.
Most pedig, a gömbből készíthető gömbkocka felszínét és térfogatát fogjuk kiszámítani ahhoz, hogy összevessük a kiválasztott r-sugarú gömbünk, előzőleg kiszámított új felszínével és térfogatával.
Ha most, a gömb sugarát megszorozzuk 1,57-el, akkor megkapjuk a gömbből készíthető gömbkocka lehetséges a-oldalélének a hosszúságát. Ami 5 cm-es r-sugarú gömb esetén, a = 5*1,57. Ami 7,85 cm-t tesz ki. Éppen annyi lett a gömbkocka élhosszúsága, mint a gömb főköre esetében, a főkörnégyzet a-oldalhosszúsága volt.
Így a gömbkocka felszíne, az A = a2*6 képlettel kiszámolható. 7,852*6 = 61,6225 *6 = 369,735 cm2 Míg a gömbkocka térfogatát, a V = a3 képlet határozza meg. Ami 7,853 = 483,7366 cm3 lett.
Gömbkocka felszíne = A = 369,735 cm2
Gömbkocka térfogata = V = 483,7366 cm3
Ebből adódik, hogyha az 5 cm r-sugarú gömb felszíne 314 cm2 volt, és a gömbből készíthető gömbkockánk felszíne 369,735 cm2 lett, akkor a hagyományos számolás, az egydimenziós Pi-1 arányossági tényezőre alapozott módon, 55,735 cm2-rel kevesebbet számolt. Míg a gömbkocka térfogata, 483,7366 cm3 lett, a gömb eredetileg, hagyományosan kiszámolt 523,33 cm3-es térfogatához képest. Azaz az új térfogat, 39,5934 cm3rel kevesebb számértéket képvisel.
Viszont, a gömbfelszín és a gömbtérfogat számítási értékei, amit a többdimenziós Pi-3 és Pi-4 értékekkel számoltunk, tökéletesen megegyezik, a gömbből készíthető gömbkocka kiszámolt felszínével és térfogatával. Ami szintén egyértelműen azt igazolja számomra, hogy a Pi-1 3,14-es arányossági értékével, ami kizárólag a kör kerületére vonatkozik, nem lehet pontosan kiszámolni a gömb felszínét és térfogatát sem.
Ennek látszólag, nincsen nagy jelentősége, de ha forintra átszámolt anyagi értéket adunk egy gömb főkörét biztosító területnek, valamint a teljes gömb felszínének és térfogatának, akkor a hagyományos módon való számolás esetén, egészen más értékeket kell fizetnünk érte. Miközben a gömb főkörének egydimenziósra vetített kerületértéke, mindvégig változatlan marad. Mert azt, mindvégig Pi-1-es arányossági tényezővel számoltuk. Aminek az értéke, 3,14. Ami a kétdimenziós kör kerületét, egydimenziós vonal formájában vetíti elénk. Viszont, a pontosabb számolás érdekében, meg kell fontolni az általam használt új Pi, többdimenziós arányossági értékeinek a használatát.
Matécz Zoltán
2023.08.25.
