Páratlan tökéletes számok.
Tökéletes számoknak hívjuk azokat a természetes egész számokat, amelyek számszerű mennyisége, megegyezik az önmaguknál kisebb osztóik összegével. Így a legkisebb tökéletes számnak, a 6-os szám felel meg. Amelynek az önmagánál kisebb természetes osztói, az 1-es, a 2-es, és a 3-as szám. Amelyeknek az összege éppen 6.
A második tökéletes szám a 28, a harmadik a 496, míg a negyedik a 8128. Ilyen módon, már egyre több tökéletes szám került elő a számítógépes technikának köszönhetően. De mindegyik tökéletes szám, a páros számok közül került ki eddig. Ráadásul, rendre 6-osra és 8-asra végződnek. Így jogos kérdésként merült fel az, hogy létezik-e páratlan tökéletes szám, az általunk ismert természetes egész számok halmazában? Ez a kérdés, már nagyon régóta feszegeti a matematika tudományának a lehetőségeit.
Ha megnézzük a tökéletesként értékelhető 6-os számot, akkor azt vehetjük észre, hogy a nála kisebb természetes osztói között, éppúgy van páros, mint páratlan egész szám is. Így például, az 1-es és a 3-as szám, páratlan osztói a hatos számnak. Míg a 2-es szám páros osztója annak.
Hasonló a helyzet, a 28-as tökéletes számmal is. A 28-as szám kisebb természetes osztói, az 1-es, a 2-es, a 4-es, a 7-es, és a 14-es egész számok. Amelyeknek a teljes összege, éppen 28. De az 1-es szám és a 7-es szám, páratlan osztói a 28-as számnak. Míg a 2-es, a 4-es és a 14-es számok, páros osztói annak.
Így a 496-os és a 8128-as természetes számoknak is, több páratlan természetes egész osztójuk létezik. Valamint a náluk kisebb páros egész osztóik is jó számmal léteznek. Így a teljes összegszerűségük, eléri az elosztott tökéletes szám matematikai értékét. Tökéletes számként meghatározva ez által az alapszámot.
Nézzük most meg azt, hogy mi a helyzet a páratlan számok esetében. A legkisebb páratlan szám a 9-es, aminek több osztója lehetséges. Mégpedig az 1-es és a 3-as szám. Amelyeknek az összege, csupán 4. Nézzük most a 15-ös számot. A 15-ös számnak, 3 egész számú osztója van, ami kisebb, mint az osztandó szám. Az pedig, az 1-es, a 3-as és az 5-ös szám. Az összegük csupán 9. De nézhetjük például, a 45-ös számot is. Egész számú osztói, az 1-es, a 3-as, az 5-ös, a 9-es, és a 15-ös számok. Amelyek összege, csak 33. Persze, nézhetünk egy nagyobb természetes egész számot is a páratlanok sorából, például a 135-ös számot. Ahol az 1-es, a 3-as, az 5-ös, a 9-es, a15-ös, a 27-es, és a 45-ös számok lesznek a nála kisebb osztói. A teljes összegük azonban, csak 105-öt tesz ki. Vagyis, sokkal kevesebb, mint az a kiválasztott páratlan egész szám, amit elosztottak. Teljesen hasonló a helyzet, bármelyik kiválasztható természetes páratlan egész szám esetén.
A páratlan számokra ugyanis, éppen az a jellemző, hogy nem létezik páros osztójuk. Így a lehetséges természetes osztóik száma sokkal korlátozottabb számszerű mennyiséget képviselnek. Ami arra utal, hogy páratlan szám, eleve nem is töltheti be a tökéletes szám státuszát. Hiszen a nála kisebb természetes osztóit képviselő egész számok, szintén csak páratlanok lehetnek. Amelyek, sokkal kevesebb mennyiségű szám összegét képesek csak együttesen alkotni. Ilyen módon, a lehetséges osztói, sohasem érhetik el azt az összegszerűséget, amit az általuk elosztott páratlan természetes egész szám képvisel.
Ilyen módon, nyugodtan leszögezhető az, hogy a természetes páratlan egész számok halmazából, nem lehet tökéletes számot találni. Vagyis, tökéletes egész számokat, csak a természetes páros számok halmazában érdemes keresni. Tovább bővítve, az eddig már megismert tökéletes számok sorát. Páratlan számok közül, nem lehet tökéletes számot találni. Mert a páros osztóik hiányában, túl kevés a természetes egész számú osztójuk ahhoz, hogy azok teljes összege, kiadhatná az általuk elosztott szám matematikai értékét. Bármekkora legyen is a kiválasztott természetes páratlan egész szám.
Matécz Zoltán
2024.03.02.
