Négyzetből kör.
Azok az olvasóim, akik a „Kör négyszögesítése” című írásomat már ismerik, joggal várhatják el tőlem azt, hogy legyen egy olyan írásom is, amelyik arról szól, hogy bármilyen négyzetből kört lehet formálni. Mégpedig olyan kört, amelyiknek a kerülete és a területe, tökéletesen megegyezik a mintaként meghatározott négyzet kerületével és területével.
A dolgot úgy érdemes elképzelni, mintha egy darab cérna két végét összekötnénk, és különböző síkidomok alakzatait formálnánk belőle. Ezeknek a különböző síkidomoknak a kerülete és a területe, mindvégig nyilván ugyanaz marad az alakjuk változásai során. Így nyilván, négyzetet és kört is formálhatunk a rendelkezésünkre álló összekötött cérnánkból.
A kör négyszögesítésének az elve azon alapszik, hogy ha egy kör kiszámított kerületét elosztjuk néggyel, akkor tulajdonképpen, megkapjuk annak a körnégyzetnek az a-oldalhosszúságát, amelyet a megadott kör kerületéből készíthetünk úgy, hogy a körnégyzetünk kerülete ugyanaz maradjon, mint az eredeti kör kerülete volt.
Körnégyzet a oldalhosszúsága = körkerület / 4
De a lehetséges körnégyzetünk a-oldalhosszúságát úgy is meghatározhatjuk matematikai szinten, hogy az ismert kör sugarát megszorozzuk 1,57-el. Vagyis, a Pi1 felével. Pi1 / 2 = 3,14 / 2 = 1,57
Körnégyzet a-oldalhosszúsága = r * 1,57
Nézzünk mindjárt egy egyszerű példát. Legyen a kiválasztott kör sugara mondjuk 10 cm. Akkor a kör kerülete, K = 2r * Pi vagy K = D * Pi Míg a kör területét, a T = r2 * Pi képlettel határozhatjuk meg.
K = 2r * Pi = 20 * 3,14 = 62,8 cm
T = r2 * Pi = 102 * 3,14 = 100 * 3,14 = 314 cm2
Vagyis, a 10 cm r-sugarú körünk K-kerülete 62,8 cm hosszúságú, míg a T-területe, 314 cm2. Ha most, ezeknek a köradatoknak az ismeretében, kiszámoljuk a belőle készíthető lehetséges körnégyzetünk a-oldalhosszúságának a méretét, akkor a körből készíthető körnégyzetünk könnyen megszerkeszthető. Az a-oldalhosszúságot tehát, eleve kétféle módon határozhatjuk meg.
a = K / 4 = 62,8 / 4 = 15,7 cm
a = r * 1,57 = 10 * 1,57 = 15,7 cm
Így már a körből készíthető körnégyzetünk kerülete és területe, nyilván könnyedén kiszámítható. A négyzet geometriai szintű kerület és területszámítási képleteivel.
K = a * 4 = 15,7 * 4 = 62,8 cm
T = a2 = a * a = 15,7 * 15,7 = 246,49 cm2
A körnégyzet K-kerülete nyilvánvaló módon, tökéletesen megegyezik a kör K-kerületével. Mint az jól látható, a területszámítási értékek viszont, eltérnek egymástól. Mégpedig, a kör T-területe, 67,51 cm2-el nagyobb, mint a belőle készíthető körnégyzet T-területe lett. Ez az eltérés pedig, abból adódik, hogy a Pi1 3,14-es arányossági értéke, csak a kör K-kerületével lehet arányos. A kör területszámítására teljesen alkalmatlan. Mert irreális értéket eredményez. Mert a Pi azt jelenti, hogy „perimetrosz”, azaz periféria, vagyis kerület. Ennél fogva, a Pi arányossági értéke kizárólag arra használható csak, hogy a kétdimenziós kör kerületét, egydimenziós vonal konkrét szakaszaként határozza meg. Ennél fogva a Pi, a kör kétdimenziós területszámítására teljesen alkalmatlan.
Ebből kifolyólag, a körnégyzet kerületének és területének az ismeretében, egy új Pi2 arányossági értéket határoztam meg. Amellyel már olyan területérték állapítható meg a kör esetében, ami a körből készíthető lehetséges körnégyzet területértékével tökéletesen azonos matematikai értéket takar. Így lett nálam Pi2 = 2,465-el. Ha tehát, a kör területszámítási képletében, nem Pi1-et használunk, hanem a Pi2 arányossági értékét, akkor a kör T-területszámítása során, ugyanolyan matematikai értéket kapunk eredményül, mint a belőle számítható körnégyzet területszámítási értéke lehet.
T = r2 * Pi2 = 100 * 2,465 = 246,5 cm2
Pi2 tehát, a kör kétdimenziós területszámításához alkalmas arányossági értéket képviseli. Ezt igazolják, a kör négyszögesítése során kialakítható lehetséges körnégyzet saját kerület és területszámítási adatai.
Ha pedig most, egy meghatározott kerületű és területű négyzetből szeretnénk kifordított módon négyzetkört készíteni, akkor az alkalmazott matematikai folyamatokat, nyilván meg kell fordítani. Ahol a négyzet a-oldalhosszúsága 15,7 cm.
K = a * 4 = 15,7 * 4 = 62,8 cm
T = a * a = 15,7 * 15,7 = 246,49 cm2
Így a négyzet által meghatározott K-kerület konkrét értékéből, könnyen kiszámíthatjuk a lehetséges négyzetkörünk r-sugarát.
r = K / Pi1 / 2 = 62,8 / 3,14 / 2 = 10 cm
Majd a négyzet által kiszámított T-terület konkrét értékéből, ismét könnyen kiszámíthatjuk a lehetséges négyzetkörünk lehetséges r-sugarát.
r = 246,5 / Pi2 = 246,5 / 2,465 = 100 Amiből még gyököt kell vonni, hiszen a négyzet területszámítási képletében, négyzetes viszonnyal szerepelt az a-oldalhosszúság. Így 10 cm lesz az r-sugár eredménye.
Ami azt jelenti, hogy egy 15,7 cm a-oldalhosszúságú négyzetből, 10 cm r-sugarú négyzetkör készíthető úgy, hogy a T-terület és a K-kerületadatok mindvégig azonosak maradjanak. De csak úgy, ha a négyzetből formálható négyzetkörünk területét, Pi2 arányossági értékkel számoljuk. Mert Pi1 arányossági értéke, csak a kör egydimenziós kerületszámítására alkalmas. A kétdimenziós területszámításokhoz, már Pi2 arányossági értékre van szükségünk, a matematikai pontosság érdekében.
Ma még, a matematikai gyakorlatban, Pi1-et használnak a kör kétdimenziós síkidom T-területértékének a kiszámításához. Amelynek az arányossági értéke, 3,14. De ez az arányossági érték, csak a kör egydimenziós módon kifejezett kerületével lehet arányos. A kör területéhez, Pi2, azaz 2,465 arányossági értékre van szükségünk. Mert ez már, kétdimenziós arányossági értéket takar. A Pi1 egydimenziós arányossági értékével szemben.
Csak mellékesen jegyzem meg, hogy az anyagi testek felszínét képviselő A-felületéhez és a V-térfogatához, újabb arányossági értékek tartoznak. Amelyek már a harmadik dimenzióhoz kompatibilis arányossági értékek. Amelyeket én, jobb híján, Pi3 és Pi4 értékekként határoztam meg.
Pi3 = 3,6973 Testfelszín arányossági értéke.
Pi4 = 2,90242 Testtérfogat arányossági értéke.
Ezeket az adatokat, a „Pi változó értékei” című írásomban fejtettem ki bővebben. Utalva arra, hogy minden dimenzióhoz, egészen más arányossági érték tartozik. Mert, ha továbbra is a Pi1 3,14-es arányossági értékét használjuk az ilyen két vagy háromdimenziós geometriai számításokhoz, akkor továbbra is irreális matematikai értékeket kapunk eredményül.
Matécz Zoltán
2024.04.22.
