Üres és egyelemű halmazok?
A halmazelmélet alapjait Georg Cantor dolgozta ki, és 1874-ben publikálta. A halmazelmélet fejlődése során kiderült azonban, hogy Cantor elmélete paradoxonokba, antinómiákba, ellentmondásokba ütközik néhol, ezért ma már, mint kezdetleges, azaz naiv halmazelméletként tartják számon a munkáját.
A matematikában megszokott fogalmakat, számokat, relációs összefüggéseket, függvényeket, Stb., halmazokként fejezik ki. Így a halmazelmélet a matematika új ágának bizonyult, amelynek segítségével minden matematikai összefüggés nagyon jól kifejezhető. A matematika viszont, éppen az észlelhető fizikai valóságot próbálja kifejezni számelméleti módon. A matematika minden momentuma kifejezhető a halmazelmélet segítségével, ezért számunkra éppen a valóságot tükrözi. Görbe tükör azonban, ha naiv, ellentmondásos módon, nem képes tökéletesen, közérthetően kifejezni a matematikai összefüggéseket, vagy ha hűen követi a matematika esetlegesen hibás összefüggéseit is. Ebből az is következik, hogy a halmazelméleteket a matematikához igazítják, pedig a matematikával bármit ki lehet már fejezni, a valótlant is. Ha azonban a matematika bárhol hibázik, akkor a belőle kifejlődő halmazelmélet is, naiv módon hibássá, ellentmondásossá alakul.
Már megszoktuk azt, hogy a tudomány az objektív valóság megismeréséről szól. Számomra azonban, a valóság objektív és szubjektív egy időben. Objektív részét a tudomány tárgyalja, míg a szubjektív része, egyenlőre még vitatható. Én abból indulok ki, hogy az Univerzum, mint világmindenség, minden létezést önmagában foglal. Ha most elméletben, szétszedünk minden összetett anyagi megnyilvánulást, egészen a tovább már valóban oszthatatlan pontokig, akkor egy olyan alaphalmazt kapunk eredményül, amelyik csak belső, szubjektív tulajdonságú lehet, az Univerzum szemszögéből nézve. És máris eljutottunk egy valóságos alaphalmazhoz, amely bármiféle lehetséges fizikai halmazelmélet alapját képezheti.
A halmazelméletek valóságos alapját tehát, csak a szubjektív alaphalmaz jelentheti, amely ennél fogva, minden egyéb, benne megnyilvánulásként elkülönült objektív anyagi részhalmazt magában foglal. Így minden lehetséges osztható típusú anyagi részhalmaz aktív eleme a szubjektív alaphalmaznak, amelyet továbbra is az oszthatatlan pontok képviselnek. Ezért, az oszthatatlan pontok, kívül és belül kitöltik a helyet, az osztható típusú halmazokban és azok között, teret biztosítva ez által az anyagi létezések, és azok állapotváltozásai számára. Ennél fogva, az objektívnek megismert anyagi létezés, csak a szubjektív alaphalmazban valósulhatott meg. Az anyagi megnyilvánulás a szubjektív alaphalmazban működik, belső térfogatát az tölti ki, és az eseményszintű létezése az alaphalmazban zajló alapesemények függvénye. Ezért az oszthatatlan pontok által felépített szubjektív alaphalmaz abszolút halmaz, míg minden benne megnyilvánult összetett anyagi halmaz, relatív halmaz csupán. Így az objektívnek megismert valóság, relatív eleme csak az abszolút értéket képviselő szubjektív alaphalmaznak.
A halmazelméletek nem határozzák meg az elem fogalmát konkrétan, mert az eleve kézenfekvő, közérthető alapfogalomnak van nyilvánítva. A halmazelméletek nem határozzák meg a halmaz fogalmát sem konkrétan, mert az szintén annyira kézenfekvő, közérthető alapfogalomnak minősülő dolog. És mégis az elem és halmaz fogalmán keresztül értelmezik a matematikai összefüggéseket. Így azonnal ellentmondás észlelhető, mert az elem és a halmaz fogalmának konkrét tisztázása és meghatározása nélkül, valójában hiányos alapokra épül bármilyen szintű tudományos halmazelmélet. A mai halmazelméletekkel ellentétben Cantor, a naivnak nevezett elméletében, meghatározta az elem jelentését, amely arra utalt nála, hogy egy önálló elem alkotóeleme-e egy vagy több halmaznak. A halmaz fogalmát is meghatározta. Nála a halmaz definíciója úgy hangzik körülbelül, hogy jól megkülönböztethető alkotó-elemek összegzése egy közös egységgé. Így a halmaz alkotóelemeinek nem feltétlenül szükséges azonos tulajdonságokat produkáló elemeknek lenni.
A modern axiomatikus halmazelméleteknek az axiómák képezik az alapját. Azok a tudományos megegyezéseken alapuló kiindulási alapfeltételek, amelyeket eleve adottnak vesznek a halmazelmélet levezetéseiben kimutatható érvelések során. Alapfeltételként a meghatározott axiómákat nem is kérdőjelezik meg, megállapított alaptényekként kezelik, elfogadott alapigazságokként. Tehát, az axiómák miatt, dogmatikus a halmazelmélet. A halmazelméletben mindent le lehet írni két alapvető kifejezéssel. Az egyik kifejezés a halmaz, a másik pedig, az a kijelentés, hogy egy adott tényező alkotó eleme-e valamely halmaznak vagy halmazoknak. Így a halmazelméletek alapján:
Elem: Olyan alapfogalom, amely külön meghatározást nem igényel. A halmazokat legtöbbször a halmaz elemeire jellemző sajátságos tulajdonságok meghatározásával adjuk meg, vagy ha ez lehetséges, akkor a halmaz különböző elemeinek a felsorolásával. Az elemeket latin kisbetűkkel jelöljük.
Halmaz: Olyan alapfogalom, amely külön meghatározást nem igényel. A modern, axiomatikus halmazelmélet szerint, a halmaz, bizonyos axiomatikusan maghatározott tulajdonságokkal rendelkező dolgok osztálya. Így minden olyan dolog halmaznak tekinthető, amelynek vannak alkotó elemei. Így aminek nincsenek alkotó elemei, az nem lehet önálló, valós halmaz. A halmazokat latin nagy betűkkel jelöljük.
A halmazok, és a közöttük fennálló viszonyok állításokat tartalmaznak, amelyeket a halmazelmélet direkt, vagy indirekt módon elemez. A direkt bizonyítási eljárás azon alapszik, hogy a bizonyítandó állítást igaznak fogadjuk el, majd megvizsgáljuk ennek a direkt állításnak a lehetséges következményeit. Amennyiben a vizsgálat során ellentmondásokhoz jutunk, akkor mégsem lehet igaz a bizonyítandó állítás. Az indirekt bizonyítási eljárás pedig, azon alapszik, hogy a bizonyítandó állítást úgy fogadjuk el, hogy nem igaz, majd megvizsgáljuk ennek az indirekt állításnak a lehetséges következményeit. Amennyiben a vizsgálat során ellentmondásokhoz jutunk, akkor nem lehet igaz az indirekt feltétel, következésképpen igaz az eredeti bizonyítandó állítás. A halmazok ábrázolása és a halmazok között fennálló viszonyok értelmezése, képletszerű ábrázolásuk Venn- diagrammokkal történik.
A matematikában az új fogalmakat úgy határozzuk meg, hogy az értelmezésük során kialakítható értelmezésükhöz a fogalom tartalmát, a korábban meghatározott fogalmak segítségével fejezzük ki, vagyis definiáljuk.
Alapvető halmazműveleti definíciók: (a teljesség igénye nélkül)
- Alaphalmaznak nevezzük azt a halmazt, amelynek alkotó elemei az adott vizsgálathoz tartozó összes elemet tartalmazzák.
- Üres halmaznak nevezzük azt a halmazt, amelynek egy eleme sincsen. Két halmaz egyenlőségének alapján, csak egyetlen üres halmaz van. Az üres halmazt minden halmaz részhalmazának tekintjük. Így a nullára gondolhatunk úgy, mint arra a halmazra, amelynek egyetlen eleme sincsen, vagyis üres. A matematika nulla értéket képviselő számának az üres halmaz felel meg.
- Egyelemű halmaz az, amelynek egyetlen egy alkotóeleme van csak. Az egyes számra gondolhatunk úgy, mint egy egyelemű halmazra. Az egyes számnak csak a nullát tartalmazó halmaz felel meg. Tehát, az egyes egy egyelemű halmaz, amelynek egyetlen eleme az üres halmaz.
- Két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemei.
- Egy A- halmaz valódi részhalmaza a B- halmaznak, ha A- halmaz minden eleme szintén eleme a B- halmaznak. Így minden halmaz önmagának is részhalmaza.
- Egy A- halmaz valódi részhalmaza B- halmaznak, ha az A- halmaz minden eleme beletartozik a B- halmazba, de a B- halmaznak van olyan eleme, amelyik nem tartozik bele az A- halmazba.
- Az A- halmaz kiegészítő halmaza (komplementere) azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek elemei az alaphalmaznak, de nem elemei az A- halmaznak. Így az A- halmaz komplementerét egy alaphalmaz felett értelmezhetjük.
- Az A- halmaz és a B- halmaz közös része (metszete) azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek mind a két halmazba beletartoznak, azaz azokra az elemekre vonatkozik, amelyek az A- halmaznak is és a B- halmaznak is közös elemei.
- Az A- halmaz és B- halmaz különbsége azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek beletartoznak az A- halmazba, de nem elemei a B- halmaznak.
- Az A- halmaz és B- halmaz egyesítése (uniója) azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek a két halmaz közül legalább az egyik halmazba beletartoznak, vagyis, amelyek A- halmaznak vagy B- halmaznak alkotó elemei. Két halmaz uniója is halmazt alkot.
- Az A- halmaz szorozva B- halmazzal a Descartes-szorzat (direkt szorzat) azon rendezett elem pároknak a halmaza, amelyeknek első eleme az A- nem üres halmazból, második eleme pedig, a B- nem üres halmazból való.
- Ha két halmaz között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető, akkor azt mondjuk, hogy a két halmaz számossága egyenlő.
- Egy halmazt végesnek nevezünk, ha nincsen olyan valódi részhalmaza, amely vele egyenlő számosságú. Ellenkező esetben végtelen halmazról beszélünk.
- Egy halmazt megszámlálhatatlanul végtelennek nevezünk, ha egyenlő számosságú a természetes számok halmazával. Egy halmazt megszámlálhatónak mondunk, ha véges, vagy megszámlálhatóan végtelen.
Szerintem pedig:
Az üres halmaz fogalma számomra teljesen érthetetlen. Az üres halmaz elem nélkül alkot halmazt. Üres elem sem létezhet persze. Ha a halmazelmélet a matematikát kívánja leképezni, akkor esetleg elfogadható a dolog, de amennyiben a valóságot, akkor már elfogadhatatlan. Tapasztalatunk ugyanis, csak a valóság létezéséről lehet, a nemlétről képtelenség. A matematikával ugyanis, bármit ki lehet fejezni, így a valótlant is. Üres halmaz a valóságban ugyanis, nem létezhet. Az olyan lenne, mint egy előre előkészített virtuális zsák, amelybe azt teszünk, amit csak akarunk a valóságból. Csakhogy, a halmazokat éppen az őket alkotó elemek formálják valóságos halmazzá. Az üres halmaz olyan halmaz, amelynek egyetlen egy valóságos eleme sincsen. Ha azonban, nem tartalmaz alkotóelemeket, akkor milyen alapon lehet egyáltalán halmazként értelmezni? Ez a halmaz a nullát, a nemlétezést, a semmit próbálja becsempészni a valóságot leképezni szándékozó halmazelméletekbe. Relatív matematikai gondolkodásmódunk a nullából, az origóból indul ki, és abból kívánja felépíteni a valóságot. Teljesen mindegy azonban az, hogy hány darab semmit képzelek el egy halmaz alkotóelemeinek, a nemlétezés valós létező halmazt alkotni nem képes. Teljesen mindegy az, hogy az egy elemként elképzelt semmi nem létezik számunkra, vagy a halmazban elképzelt semmi nem létezik a valóságunkban. Akár elemként, akár halmazként gondolok rá, olyan, mintha ott se lenne, mert nem a létezés valós eleme. A halmazok előfeltétele ugyanis az, hogy valósan létező elemek, vagy azok szimbólumai szerepeljenek bennük alkotóelemek gyanánt, mert csak így lehetnek szintén valós elemei egyéb halmazoknak, és csak ilyen módon várható el, hogy a valóság reálisan leképezhető legyen általuk. Minden más esetben paradoxikus a dolog.
Az egyelemű halmaz fogalma pedig, olyan halmazt takar a halmazelméletekben, amelynek csak egyetlen egy alkotó eleme lehetséges. A matematikai egyes szimbólumát testesíti meg a halmazelméletekben. A halmaz fogalma eleve feltételezi azt, hogy több darab, vagy több féle alkotóelem alkothat halmazt, vagyis közösíthető rendszert, osztályt. Ha csak egy alkotóelemről van szó, akkor bizony, egyedül nem képes több összetevőn alapuló halmazt képezni, legfeljebb eleme lehet egy valós halmaznak. Ráadásul, az egy elemű halmaz definíciójának értelmezése alapján, az egyelemű halmaz egyetlen eleme az üres halmaz lehet. Az ilyen értelmezés, burkoltan egyesíti az elem és a halmaz fogalmát, és a matematikai nemlétezést másodszor is becsempészi a halmazelméletbe, biztos, ami biztos.
Abszolút számegyenes, vagy koordináta, csak a valóban létező oszthatatlant matematikai módon szimbolizáló egyessel kezdődhet, és halmazának minden eleme az elsővel teljesen egyenrangú egyes lehet. Ha ezen a számegyenesen viszonyt szeretnénk kifejezni, akkor ki kell jelölnünk rajta egy fix, adott pontot, azaz egyest, amelyhez képest nyer viszonyított számértéket a többi egyes. Így a második egyes, amelyik az elsővel teljesen egyenrangú egyes, már kettes lesz számunkra, a harmadik pedig, hármas lesz. És persze folytathatnánk a végtelenségig a természetes számok sorát. És ugyanez történik, ha az ellentétes irányba fordulunk. Sok-sok egyest nevezhetünk ki a mi megszokott természetes számaink alapján, de a valós létezésben nullát, azaz nem létezést nem találunk. Mert a természetes számaink olyan szimbólumok, amelyek megmutatják nekünk azt, hogy hányadik egyenrangú egyest képviselik a mi relatívvá, azaz viszonyíthatóvá, értelmezhetővé alakított számskálánkon. A relatív ugyanis nem más, mint az abszolút egy általunk kiragadott, belátható, értelmezhető része csupán.
Számrendszerünk az emberhez igazodik, így a tízes ciklus jellemzi. Az ember tíz ujja az alapja. Mind a tíz létező ujja. Így a valós abszolút számsor tízig így néz ki:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Ettől különbözik a relatív tízes számsor, amely éppen ugyanúgy tíz tagot számol, de a valós tízes eltűnt, és helyette már a nulla, a nemlétezés lett a számsor kiinduló eleme:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Ha pedig, most az abszolút számegyenesre vetítünk gondolatban egy relatív számegyenest, amelynek a nulla a kiinduló pontja, akkor a relatív számegyenes kezdő pontját képező origó, vagy nulla, a nemlétezést csempészi be az abszolút számegyenesbe az által, hogy egy valós egyest elfed előlünk. Erről bővebben írtam már régebben is, a Létkérdés című írásomban.
A matematika segítségével képzeletbeli tényezőket és virtuális valóságot is ki lehet fejezni. Abban az esetben pedig, ha a matematikai kifejezésmód nem jelzi számunkra egyértelműen a képzelet vagy virtualitás tényét, akkor azok a halmazelméletek által kivejezve könnyedén keveredhetnek a valóságot kifejező összefüggésekkel, paradoxikus eredményekre jutva. Vagy ha a halmazelméletek a relatív számegyenesre alapuló matematikai elveket fejezik ki, akkor óhatatlanul szintén paradoxonokhoz, ellentmondásokhoz jutunk általuk. Akkor ugyanis, az abszolút valóságot próbálják kifejezni relatív módon. Az abszolút feltételeken nyugvó valóság ugyanis, csak abszolút matematikai elvekkel fejezhető ki paradoxikus problémáktól mentesen, és az azokra alapuló abszolút halmazelméletek által. Az abszolút és a relatív tényezők bármilyen logikai keveredése, minden esetben paradoxonokhoz, ellentmondásokhoz vezet. Ez alól nem kivétel a matematika sem, vagy a matematikát igen jól leképezni képes halmazelméletek sem.
Matécz Zoltán
2010.09.05.
matecz.zoltan@gmail.com
