Déloszi probléma.
Lényegét tekintve, ez egy olyan matematikai feladat, amelyikben szerkeszteni kell egy olyan megadott a-oldalél hosszúságú kockatest helyébe egy másik kockatestet, amelyiknek a V-térfogata, éppen kétszer akkora az első kockáénak. Ezt a feladatot szokták egyszerűen csak, kockakettőzésnek nevezni.
Az első példánk esetében, az első kockánk oldaléle legyen 1 cm hosszúságú. Mint például, egy kisebb dobókocka mérete.
a1 = 1 cm V1 = 13 = 1cm3 Az első kocka térfogata.
V2 = V1 * 2 = 2 cm3 A második kocka térfogatigénye.
A kétféle V-térfogat között, csak egy arányszámot találtam, ami természetesen, aránylag jó közelítéssel képes megoldani ezt a matematikai feladatot. Ennek a térfogatkétszerező arányszámnak az értéke, 1,26. Ami azt jelenti, hogy ha az első kockatest oldalélének a hosszúságát megszorozzuk 1,26-al, akkor megkapjuk annak a második kockatestnek az oldalél hosszúságát, ami jó közelítéssel képes megoldani nekünk a feladatot. Mert egész számra vetíthető tökéletes megoldást, én sem találtam erre a matematikai feladatra.
a1 = 1 cm akkor a2 = a1 * 1,26 = 1 * 1,26 = 1,26 cm
V2 = 1,263 = 2,000376 cm3 A második kocka térfogata.
Mint látható, a matematikai feladat, aránylag pontos értékkel megoldható. Ha a tízezrelékes többlet eltérést elenyészőnek tekintjük. Nézzünk egy második példát, 2 cm hosszú oldaléllel rendelkező első alapkockával.
a1 = 2 cm V1 = 23 = 8 cm3
V2 = V1 * 2 = 16 cm3
Így most, a 8 cm3-es térfogatú kocka helyett, egy 16 cm3-es térfogatú kockát kell szerkesztenünk második kocka gyanánt. Amelynek az oldalél hosszúságát, az 1,26-os arányszámmal szorozva kaphatjuk meg.
a1 = 2 cm akkor a2 = a1 * 1,26 = 2 * 1,26 = 2,52 cm
V2 = 2,523 = 16,003 cm3
Ilyen módon, a 16 cm3-es térfogatú első kocka helyett csak három ezrelék lett a második kockánk térfogatának a többlete. De nézzük most a két kocka közötti arány változását egy harmadik példával, amelynél 5 cm hosszúságú oldaléllel rendelkezik az első kockánk.
a1 = 5 cm V1 = 53 = 125 cm3
V2 = V1 * 2 = 250 cm3
Most tehát, a 125 cm3-es térfogatú első kocka helyett, 250 cm3-es térfogatú második kockát kell szerkesztenünk. Amelynek a szükséges oldalél hosszúságát, ismét az 1,26-os arányszámmal szorozva kaphatjuk meg.
a1 = 5 cm akkor a2 = a1 * 1.26 = 5 * 1,26 = 6,3 cm
V2 = 6,33 = 250,047 cm3
Vagyis, a 125 cm3-es térfogatú első kocka helyett, 47 századnyi eltéréssel lehet második kockát szerkeszteni, az eddig használt módszerrel. Most pedig, negyedik példaként, legyen az első kockánk oldalélének a hosszúsága 10 cm.
a1 = 10 cm V1 = 103 = 1000 cm3
V2 = V1 * 2 = 2000 cm3
Ami most azt jelenti, hogy egy 1000 cm3 térfogatú első kocka helyett, egy második, 2000 cm3 térfogatú kockát kellene szerkesztenünk.
a1 = 10 cm akkor a2 = a1 * 1,26 = 10 * 1,26 = 12,6 cm
V2 = 12,63 = 2000,376 cm3
Vagyis, a két kocka közötti különbség sajnos tovább növekedett. De most végül, nézzük meg a különbséget akkor, ha az első kockánk oldalélének a hosszúságát például, 18 cm hosszúságúra növeljük.
a1 = 18 cm V1 = 183 = 5832 cm3
V2 = V1 * 2 = 11664 cm3
Így az utolsó példánkban, az 5832 cm3 térfogatú első kockánk helyett, egy 11664 cm3-es kockát kell szerkesztenünk második kockaként.
a1 = 18 cm akkor a2 = a1 * 1,26 = 18 * 1.26 = 22,68 cm
V2 = 22,683 = 11666,19 cm3
Ilyen módon, a második kockánk térfogata, már 2,19 cm3-rel nagyobb lett, mint az első kockánk térfogata volt. Vagyis, túllépte a tizedes eltérés, talán még elfogadhatónak mondható mértékét. Ami arra utal, hogy az 1,26-os arányszám az első és a második kocka oldaléle között, csak kis méretű kockák esetében fogadható el. Minél nagyobb ugyanis az első kocka oldalél hosszúságának a mérete, annál nagyobb eltérést mutat a számítás, a második kiszámítható kocka esetében. Vagyis, a Déloszi probléma által felvetett matematikai feladat, továbbra sem tekinthető tökéletesen megoldottnak. Legfeljebb részleges megoldással rendelkezhetünk, ami kis méretű kockák esetében azért, még elég jól használható.
Mivel azonban, a 10-es mértékig néhány tizednyi eltérést mutat csak a számítás, ezért a dolog olyan módon folytatható mégis tovább, hogy a 10-12 fölötti számértékeket, eggyel magasabb léptékű hosszúságban fejezzük ki. Így például, a 18 cm kockaél hosszúság helyett, 1,8 dm-t használunk. Így deciméterben kifejezve, megint eljuthatunk a 10-12-es fokozatú értékhatárig. Ahol még tizedes törtérték csupán a kiszámíthatóan elfogadható eltérés. Így például, a 13-dm-t már, 1,3 m-ként fejezhetjük ki. Nézzük ezt meg most ezt az állítást, egy 12 m-es kockaél hosszúságú példával.
a1 = 12 m V1 = 123 = 1728 m3
V2 = V1 * 2 = 3456 m3
Ebből adódik, hogy a jelenlegi példánkban, ami már méteres léptékű, az 1728 m3-es első kockatest térfogata helyett, egy 3456 m3-es második térfogatú kockát kell szerkesztenünk.
a1 = 12 m akkor a2 = a1 * 1,26 = 12 * 1,26 = 15,12 m
V2 = 15,123 = 3456,64 m3
Ami azt igazolja számomra, hogy az a-hosszúsággal kifejezhető mértékegységek 10-es alapú léptékváltásának a lehetőségével, a 10-es mértékekig úgy használható tovább a számítás, hogy az eredmény még tizedes rendű határértékeken belül marad. A jól kiválasztott hosszúsági léptékekhez viszonyítva azonban, ez a tizedes mértékű eltérés elenyésző is lehet a végeredmény érdekében. Ilyen módon, ez a matematikai számítás tulajdonképpen, a gyakorlatba is könnyen átvihető szükség esetén.
Matécz Zoltán
2024.02.26.
