Fermat sejtés.
A matematika tudományában, az egyik eddig megoldatlan problémát, a nagy Fermat sejtés képviseli. Tulajdonképpen arról van szó, hogy van-e matematikai szintű megoldása az egész számok körében, az an+ bn = cn egyenleti összefüggésnek. Ez a probléma, már nagyon régóta izgatja a matematikus szakembereket. Aminek az alapgondolatát, Püthagorasz tétele képezi. Ahol egy tökéletes derékszögű háromszög befogóinak a négyzetes összege, azonos számtani értéket mutat, az átfogójának a négyzetével. Azaz, a2 + b2 = c2 képlettel oldható meg. Ahol a, b és c, oldalélek, valós egész számokkal fejezhetők ki. Az olyan pozitív egész számokat, amelyek képesek kielégíteni Püthagorasz tételét, Püthagoraszi számhármasoknak nevezik. A matematika állítása szerint, ilyen számhármasokból végtelenül sok létezik. Így én is találtam egyet, mégpedig a 6, 8 és 10-es számhármast.
Az a = 6mm és b = 8mm befogóhosszúságú derékszögű háromszög esetében ugyanis, az átfogó hosszúsága éppen c = 10 mm lesz. Így a befogók négyzetének összegének, a2 + b2 -nek, c2 -tel kell egyenlőnek lennie. Vagyis, az átfogó négyzetével.
Ezt úgy érdemes elképzelni, hogy az a-befogó oldalhosszúságából, egy a*a méretű négyzetet formálunk. Majd a b-befogó oldalhosszúságával is megtesszük ugyanezt. Végül pedig, az így kapott két befogónégyzet területét összeadva, ugyanazt az eredményt kell kapnunk, mint az átfogó oldalhosszúságából formált négyzet területi értéke. Vagyis, mintha az átfogóból is egy c*c méretű négyzetet formáltunk volna. Így a két befogónégyzet összege, azonos matematikai érték lesz az átfogónégyzet összegével. Tulajdonképpen, ezt jelenti az a2 + b2 = c2 képlet.
Jó matematikusként Diophantosz, rávetítette ezt a lehetőséget a többi hatványra is. Azt feltételezve, hogy a Püthagorasz által felfedezett matematikai összefüggés, más hatványokon is érvényes lehet. Nézzük tehát, az előzőekben megadott tökéletes derékszögű háromszög paramétereit, különböző hatványokon.
a – befogó = 6 mm b – befogó = 8 mm c – átfogó = 10 mm
a2 + b2 = c2 = 62 + 82 = 102 = (6*6) + (8*8) = (10*10) = 36 + 64 = 100 mm2
A tökéletes derékszögű háromszögünk a, b és c értékei különböző hatványokon, különböző értéket vesznek fel. Amit a következő táblázat elég jól szemléltet.
a = 6 mm b = 8 mm c = 10 mm
a2 = 36 mm2 b2 = 64 mm2 c2 = 100 mm2
a3 = 216 mm3 b3 = 512 mm3 c3 = 1000 mm3
a4 = 1296 mm4 b4 = 4096 mm4 c4 = 10000 mm4
a5 = 7776 mm5 b5 = 32768 mm5 c5 = 100000 mm5
a6 = 46656 mm6 b6 = 262144 mm6 c6 = 1000000 mm6
a7 = 279936 mm7 b7 = 2097152 mm7 c7 = 10000000 mm7
Mint az jól látható, az a, b és c oldalhosszúságok, minden hatványon egészen más számszerű matematikai értékeket vesznek fel. Ahol, csak a négyzetes viszonyban mutathat tökéletes azonosságot a képlet. Minden más esetben, eltérő eredményeket vetít felénk. Ahol az a+b hatványozott értéke, sohasem lehet azonos a c matematikai értékével. Mert a c-átfogó matematikai hatványa, mindig jóval magasabb értékű lesz, mint az a és b befogók aktuális hatványának az együttes összege.
Mivel az a3,4,5,6,7,n hatványok, nyilvánvaló módon túllépnek az a2 hatványon, ezért bármelyik hatványfokozatot vegyük is figyelembe, mindenképpen eltérést fog mutatni a Püthagoraszi képlet használata során. Hasonló a helyzet b és c hatványaival is. Így a többi hatvány esetében, a képlettel kiszámolható értékek, nyilván jócskán eltávolodnak, az ideálisnak mondható tökéletes derékszögű háromszög, négyzetes szinten meghatározott egyenlőségi adataitól. Így a többi hatvány esetében, a képlet nem fedi a valóságot. Akármilyen elegánsnak látszik is a dolog.
A Diophantosz feltevés hibája, szerintem abban rejlik, hogy a kitalálója felvetett ugyan egy alapvető matematikai problémát, de nem vette észre azt, hogy közben, egy folyamatos fizikai változást próbál ugyanazzal a matematikai összefüggéssel értelmezni. Mert a Püthagorasz által meghatározott képlet, négyzetes viszonnyal oldja meg a problémát. Vagyis, kétdimenziós módon. Míg a harmadik hatvány, már háromdimenziós megoldást igényel. Ami azt is jelenti egyben, hogy a hatványszintek emelkedésével, mindig újabb és újabb dimenziót is váltunk. Vagyis, mindig más és más fizikai szintet próbálunk a kétdimenziós képlettel megoldani, leképezni a matematika nyelvére. Ami nyilván, sohasem jöhet össze.
A harmadik hatványon ugyanis, már nem négyzeteket formálunk matematikai szinten a tökéletesnek elfogadott derékszögű háromszögünk oldaléleiből, hanem kockatesteket. Ami az a-befogó esetében, már a3, azaz a*a*a -val fejezhető ki. Azaz, a hosszúságnak, a szélességnek és a magasságnak a szorzatával. Ami háromdimenziós anyagi testre utal. Ilyen módon a képlet, már nem a kétdimenziós területeket viszonyítja egymáshoz, hanem a háromdimenziós térfogatokat. A negyedik, ötödik vagy az n-dik hatványokon pedig, már a megfelelő hatványként értelmezhető, tudom is én, hogy milyen dimenziót viszonyít egymáshoz fizikai szinten.
Ilyen módon, Diophantosz feltevését igazolni nem lehet, csak cáfolni. Úgy matematikai szinten, mint fizikális módon. De azt egyértelmű jelleggel. Mert a kétdimenziós matematikai képlet, amit Püthagorasz olyan jól alkalmazott, a többi dimenzióban nem használható. Amit a többi hatványszint képvisel. Vagyis, a Diophantosz által kitalált feltevésnek, alapvető fizikai okokból, nem lehet matematikai szintű megoldása.
Fermat, miután elolvasta Diophantosz „Arithmetica” című művében azt a részt, amely az x2+y2=z2 egyenlet magasabb hatványú feltételezett megoldásairól szól az egész számok körében, a következő tartalmú feljegyzést írta ennek a kiadványnak a margójára.
„… Ugyanakkor teljesen lehetetlen a köb felbontása két köb összegére, vagy a negyedik hatványoké két negyedik hatvány összegére, de nem lehet semmilyen más magasabb hatványt sem felbontani két ugyanolyan hatványkitevőjű szám összegére. E tételnek valóban bámulatos bizonyítására jöttem rá, de nincs elég hely, hogy ide leírjam.”
(Lásd: Jelenski: Pitagorasz nyomában 135. old.)
Ez tehát, a Fermat sejtés lényege. Hogy nem lehet a négyzetes viszonyú hatványnál nagyobb hatványokat, két ugyanolyan hatványkitevőjű egész szám összegére felbontani. Ezt Fermat, matematikai szinten tudta volna igazolni. De az elmélete rejtve maradt előttünk. Ezért jelezte azt Diophantosz könyvében, a margóra jegyezve. Így maradt csupán végkifejlet nélküli sejtés a véleménye.
Azaz nincs megoldása az xn+yn=zn x,y,z,n ∈ ,n>2 diophantoszi egyenletnek az egész számok körében n>2 természetes szám esetén. Nagyon remélem, hogy jó matematikusként Fermat, nem éppen ezeket a különböző szintű fizikai változásokat vette figyelembe, ami alatt, a matematikai tétel bámulatos bizonyítását értette. Történetesen azt, hogy minden hatvány, más és más dimenziós szintet képvisel. Így a négyzetes viszonyra alapozott kétdimenziós képlet, már a háromdimenziós köbös szinten sem használható. Így a többi hatvány különböző dimenzióiban is értelmetlen a dolog.
Matécz Zoltán
2024.02.29.
