Püthagorasz tétele.
Ennek, az ókorból származó matematikai állításnak az értelmében, bármilyen derékszögű háromszög átfogóját képviselő leghosszabb oldalának a négyzete, matematikai értékben tökéletesen megegyezik, a derékszöget alkotó és a rövidebb oldalakat képviselő befogók négyzetének az összegével. Matematikai képletben leírva pedig, ez így néz ki.
a2 + b2 = c2
Az idők során, ez a tétel, már nagyon sokféle bizonyítást nyert. A világ legnagyszerűbb matematikusainak az elemzései által. Így általánosan elfogadott, alapvető összefüggés lett a matematika tudományában. Amit már, senki sem vitat, senki sem ellenőrizget. Egyszerűen bemagolják az emberek gyermekkorukban és már tudják is. Ilyen módon, minden olyan számításnál igénybe is veszik, ahol a derékszögű háromszög elve felmerülhet.
Nézzünk erre egy egyszerű példát. A könnyebb számolás kedvéért, legyen ez egy egyenlő befogóhosszúságú, azaz egyenlő szárú derékszögű háromszög. Amelynek a mindkét befogóhossza 10 cm.
Így a-oldal 10 cm, b-oldal 10 cm, míg a c-oldal 14,1 cm lesz. Vagyis c-oldal hossza, egy tört szám lett, amit nyilván, a négyzetre emelés után egyszerűsíteni kell. Ilyen módon, pontatlan lesz az értéke is. A kerülete 34,1 cm, míg a területe 50 cm2. Ezek tehát, a kiválasztott egyenlő szárú derékszögű háromszögünk alapvető matematikai paraméterei. Most pedig, vizsgáljuk meg a Püthagorasz által megállapított tétel alapján.
Amikor, a2 = 10*10 = 100 cm2, b2 szintén 100 cm2, együtt tehát, 200 cm2 lesz. Amivel, tökéletesen egyeznie kellene, a c2 értékének. c2 = 14,12 = 198,81 cm2. A tört érték miatt fennálló különbség nálam, 1,19 cm2. Vagyis, olyan tört érték, ami nyilván valamivel kisebb, mint a+b négyzetének az összege. Ez persze, nem sok, mondhatja bárki, de mégis matematikai szinten kimutatható különbség. Így matematikai szintű egyenlőségről, valójában már nem is beszélhetünk. Most pedig, emeljük a tétet. Legyen a befogóink oldalhossza, szintén az egyszerűség kedvéért tízszer annyi, tehát 100 cm.
Így az a-oldal 100cm. Az ugyanolyan méretű b-oldal, szintén 100 cm. Míg a c-oldal, 141,4 cm lett. A kerülete 341,4 cm. Míg a területe, 5000 cm2. Ezek tehát, a tízszeresére módosított egyenlő szárú derékszögű háromszögünk alapvető matematikai adatai. Most pedig, vizsgáljuk meg, újra a Püthagorasz által meghatározott matematikai forma szerint.
Így, a2 = 100*100 = 10 000 cm2. b2 szintén 10 000 cm2. Így a2+b2 együtt, már 20 000 cm2 lett. Amivel tökéletesen egyeznie kellene, a c2 értékének. Ezzel szemben, c2 = 19 993,96. A különbség nálam, 6,04 cm2 lett. Vagyis, nyilvánvaló módon növekedett, a kétféle négyzetre emelt számérték különbsége is. Annak ellenére, hogy Püthagorasz szerint, teljesen azonos matematikai eredményt kellett volna kapni. Végül pedig, legyenek az egyenlő szárú derékszögű háromszögünk befogóink hosszai, ismét tízszeresen növelve. 1000 cm-re.
1000 cm-nél pedig, a-oldal = 1000cm. A b-oldal = 1000 cm. Míg a c-oldal 1414,2 cm hosszú lett. A másodszor is megnövelt egyenlő oldalú derékszögű háromszögünk kerülete, 3414,2 cm lett. Míg a területe, 500 000 cm2. Ezek tehát, már a másodszor is módosított egyenlő szárú derékszögű háromszögünk alapvető matematikai adatai. Most pedig, ezt is vizsgáljuk meg, a Püthagorasz által meghatározott matematikai formula alapján.
1000 cm-es befogóhosszúságnál, az a2 = 1 000 000 cm2. A másik befogó szerint, b2 szintén 1 000 000 cm2. Az pedig együttesen, éppen 2 000 000 cm2. Így az átfogót képviselő c2 = 1 999 961,64 cm2. Most pedig, újra csak növekedett a kétféle négyzetre emelt számérték különbsége. Mégpedig, 38,36 cm2-rel lett kevesebb. Természetesen annak ellenére, hogy Püthagorasz szerint, tökéletesen egyforma matematikai mennyiséget kellett volna kapnunk eredményül.
Ilyen módon, ha tízszeresére emeljük a befogók hosszának a váltószámát, akkor körülbelül ötszörösével növekszik a különbözőség, a kétféle négyzetes viszony között. Legalábbis, ebben a három alappéldában. Vagyis, egyenlőségről nyilván szó sem lehet.
Úgy is mondhatnám, hogy a Püthagorasz tétellel kiszámított derékszögű háromszög oldalak, nem mindig lehetnek pontosak. Ha az a2+b2=c2 területazonosság alapján vannak azok kiszámítva. Mert ez a területi azonosság, nem fedi minden esetben a valóságot. Minél nagyobb háromszögről van szó, annál komolyabb eltérést produkálhat.
Ezek után nyugodtan megállapítható az, hogy Püthagorasz tétele, csak a matematika füzetekben lehet igazán érvényes. Ahol a csekély mértékű eltérés, nem lehet túlzottan számottevő mennyiség a füzetlapra vetítve. Ha azonban, nagyobb léptékű méreteket kell kiszámolni, méteres vagy kilométeres mértékekben, akkor ez a kerekítési különbség, már nem hanyagolható el.
Arról nem is beszélve, hogyha az Univerzumban használjuk ezt a matematikai összefüggést, a csillagközi távolságok mérésére, akkor nagyon eltévedhetünk. Mert a fényévekben számolt területek során, fényévekben lesz kifejezhető az eltérésünk mértéke is. Így tört számok egyszerűsítésével, óriási mértékű eltérésekhez juthatunk. Vagyis, jóval kisebb matematikai értéket kaphatunk, mint amennyi az valójában. Ilyen módon a matematika, mint a tudományok tudománya, tudományos szinten „csapja be” az összes többi tudományt. Azok tudósait. Akik bemagolt módon, vakon követik az alapvető jelleggel elfogadott állításait. Jelen esetben, Püthagorasz tételét.
Természetesen, van olyan tökéletesnek mondható derékszögű háromszög is, aminek az egész számú befogói mellett, az átfogó is egész számot biztosít. Ilyen például, a 60*80 cm befogóhosszúságú különböző szárú derékszögű háromszögünk, aminek az átfogója éppen 100 cm. Ha ezt a háromszöget vizsgáljuk meg a Püthagorasz tétele alapján, akkor számítás, tökéletesen igazolja is a nagy tudós tételét.
Mert a-oldali befogó hossza, 60 cm. Míg b-oldali befogóé, 80 cm. Addig a c-oldalt képviselő átfogó hossza, pontosan 100 cm lett. Így a2 = 3600 cm2. Míg b2 = 6400 cm2. Ami együttesen, 10 000 cm2-t tesz ki. Az átfogó alapján kiszámított érték pedig, c2 = 10 000 cm2 lett. Ami tökéletesen megegyezik Püthagorasz tételének az egyenlőségről szóló állításával.
Ebből az is azonnal adódik, hogy Püthagorasz tétele csak akkor lehet igaz, ha a befogók és az átfogó is egész számot takarnak. Vagyis, tökéletes háromszöget alkotnak. Mivel a tökéletlen háromszögeknél, a tört értékű hosszúságok esetében, kénytelenek vagyunk egyszerűsíteni. Lefelé vagy felfelé kerekíteni. De ezek a kényszerített kerekítési értékek, már eltérést mutatnak az egyenlőségük között. Amely egyenlőségi eltérések, nagy léptékekben számolva, már igen komoly mennyiségeket képviselhetnek. Ezért, a nagy léptékű pontos számítások érdekében, tudatosan el kell kerülni, a tört számokra jellemző kényszerű kerekítési módokat. Amit a matematika tudománya nagylelkűen megenged ugyan, de az egyenlőség alapfeltétele semmiképpen sem.
Ezek után, nyugodtan kimondhatjuk az új szabályt, amely szerint, tökéletes az a derékszögű háromszög, amelyiknek a befogókhoz és az átfogókhoz tartozó hosszúságok is egész számmal fejezhetők ki. Ezek pedig, éppen azért tökéletesek, mert reájuk Püthagorasz tétele tökéletesen érvényes.
Ezzel szemben, az olyan derékszögű háromszögek, amelyeknek bármelyik oldalhosszúsága tört számot képvisel, tökéletlen háromszögként érvényesülhet csak. Mert a reájuk vetített Püthagorasz tétel, csak jó közelítéssel lehet érvényes. Így a tökéletlen derékszögű háromszögek esetében, a befogók négyzetének az összege, nem lehet tökéletesen azonos matematikai mennyiség, az átfogó négyzetének a számértékével. Mert, csak jó közelítéssel lehet azt megsaccolni.
Kérdés az, hogy hány darab tökéletes oldalhossz arányú derékszögű háromszög létezik? A 60-80-100-as méretű derékszögű háromszög arányaihoz hasonlóan. Természetesen, az itt meghatározott tökéletes derékszögű háromszög oldalainak, az azonos mértékű egész vagy tört számú szorzatai nélkül. Vagy éppen, az azonos számértékű osztói nélkül. Ami, csak a tökéletes derékszögű háromszög méretarányain változtat. Ha ugyanis, ugyanazzal a számmal szorozzuk vagy osztjuk a tökéletes derékszögű háromszögünk mindhárom oldalának a hosszúságát, akkor éppúgy tökéletes háromszöget kapunk. Amely közös szorzó természetesen, lehet akár tört számérték is.
Ezek után, Püthagorasz tétele úgy érvényes, hogy a2+b2=c2 csak akkor igaz, ha a derékszögű háromszögünk tökéletes. Azaz, az oldalainak a mérete, kizárólag egész számmal fejezhető ki. A tökéletlen derékszögű háromszögek esetében, ahol bármelyik oldal hosszúsága tört szám, a végeredmény nem mutathat tökéletes egyenlőséget. Mert a kerekítés kényszere miatt, csak közelítő értéket határozhat meg. Így a mondanivalóm lényege, nem Püthagorasz tételét kérdőjelezi meg, hanem inkább arra utal csupán, hogy vannak tökéletes és nem tökéletes derékszögű háromszögek.
Matécz Zoltán
2023.04.04.
